1.

Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)

\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn

Nếu \(x\ne0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)

2.

\(\dfrac{-x^2+2x-5}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2-4}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+1>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Kết luận: \(-2< m< 2\)

Với \(m=-1\) thỏa mãn

Với \(m\ne-1\) hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\-m\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-1< m\le0\)

Vậy \(-1\le m\le0\)

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)

Đáp án đúng : D

\(m=0\) không thỏa mãn

Với \(m\ne0\):

\(y'=4mx^3-2\left(m+1\right)x=2x\left(2mx^2-\left(m+1\right)\right)\)

Hàm có 3 cực trị khi:

\(\dfrac{m+1}{m}>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>0\end{matrix}\right.\)

a, - Xét phương trình (1) có : \(\Delta^,=b^{,2}-ac\)

\(=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=m^2-2m+1-2m+5\)

\(=m^2-4m+6=m^2-4m+4+2=\left(m-2\right)^2+2\)

- Thấy \(\Delta^,\ge2>0\) => ĐPCM .

b,Theo viets : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

\(TH_1:x_1=0\Rightarrow m=\dfrac{5}{2}\)

- Thay m và x1 vào một PT ta được : x2 = -3 ( L )

=> Không tồn tại x1 = 0 để nghiệm còn lại lớn hơn 0 .

\(TH_2:x_1< 0< x_2\)

\(\Leftrightarrow ac< 0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)

Vậy ...